Să ne imaginăm o suprafață și o furnică stând pe ea. Va putea furnica să se târască pe cealaltă parte a suprafeței - la figurat vorbind, spre partea de dedesubt - fără a se cațăra peste margine? Desigur că nu!
August Ferdinand Mobius (1790-1868)
Primul exemplu de suprafață unilaterală, în orice loc în care o furnică se poate târa fără să treacă peste margine, a fost dat de Mobius în 1858.
O bandă Möbius, numită și buclă, suprafață sau foaie, este un obiect de studiu în disciplina matematică a topologiei, care studiază proprietățile generale ale figurilor care se păstrează sub astfel de transformări continue precum răsucirea, întinderea, compresia, îndoirea și altele nu. legat de o încălcare a integrității . O caracteristică uimitoare și unică a unei astfel de benzi este că are o singură parte și o margine și nu are nicio legătură cu locația sa în spațiu. O bandă Mobius este topologică, adică un obiect continuu cu cea mai simplă suprafață unilaterală cu o limită în spațiul euclidian obișnuit (3-dimensional), unde este posibil dintr-un punct al unei astfel de suprafețe să ajungi la oricare altul fără a trece. marginile.
August Ferdinand Möbius (1790-1868) – student al „regelui” matematicienilor Gauss. Möbius a fost inițial un astronom, ca Gauss și mulți alții cărora matematica le datorează dezvoltarea. În acele vremuri, matematica nu era susținută, iar astronomia oferea suficienți bani pentru a nu se gândi la ele și lăsa timp pentru propriile gânduri. Și Möbius a devenit unul dintre cei mai mari geometri ai secolului al XIX-lea.
La vârsta de 68 de ani, Möbius a făcut o descoperire de o frumusețe uimitoare. Aceasta este descoperirea suprafețelor unilaterale, dintre care una este banda (sau bandă) Möbius. Möbius a venit cu ideea panglicii când a observat o servitoare care își purta fularul greșit la gât.
În spațiul euclidian, de fapt, există două tipuri de benzi Mobius semiîntoarse: una rotită în sensul acelor de ceasornic, cealaltă în sens invers acelor de ceasornic.
Banda Möbius are următoarele proprietăți care nu se modifică atunci când este comprimată, tăiată pe lungime sau mototolită:
1. Prezența unei laturi. A. Mobius în lucrarea sa „Despre volumul poliedrelor” a descris o suprafață geometrică, numită ulterior în onoarea sa, cu o singură latură. Este destul de simplu să verificați acest lucru: luați o bandă sau bandă Mobius și încercați să pictați interiorul cu o culoare și exteriorul cu alta. Nu contează în ce loc și direcția a început colorarea, întreaga figură va fi vopsită cu aceeași culoare.
2. Continuitatea se exprimă prin faptul că orice punct al acestei figuri geometrice poate fi legat de orice alt punct fără a depăși limitele suprafeței Mobius.
3. Conexiunea sau bidimensionalitatea constă în faptul că atunci când tăiați banda pe lungime, mai multe forme diferite nu vor ieși din ea și rămâne solidă.
4. Îi lipsește o proprietate atât de importantă precum orientarea. Aceasta înseamnă că o persoană care urmează această figură se va întoarce la începutul drumului său, dar numai într-o imagine în oglindă a lui însuși. Astfel, o bandă infinită de Mobius poate duce la o călătorie eternă.
5. Un număr cromatic special care arată numărul maxim posibil de zone de pe suprafața Mobius care pot fi create astfel încât oricare dintre ele să aibă o limită comună cu toate celelalte. Banda Möbius are un număr cromatic de 6, dar inelul de hârtie are un număr cromatic de 5.
Astăzi, banda Mobius și proprietățile sale sunt utilizate pe scară largă în știință, servind drept bază pentru construirea de noi ipoteze și teorii, efectuarea de cercetări și experimente și crearea de noi mecanisme și dispozitive. Astfel, există o ipoteză conform căreia Universul este o buclă uriașă Mobius. Acest lucru este evidențiat indirect de teoria relativității a lui Einstein, conform căreia chiar și o navă care zboară direct se poate întoarce la același punct de timp și spațiu de la care a pornit.
O altă teorie vede ADN-ul ca parte a suprafeței Mobius, ceea ce explică dificultatea de a citi și descifra codul genetic. Printre altele, o astfel de structură oferă o explicație logică pentru moartea biologică - o spirală închisă pe sine duce la autodistrugerea obiectului. Potrivit fizicienilor, multe legi optice se bazează pe proprietățile benzii Mobius. Deci, de exemplu, o reflexie în oglindă este un transfer special în timp și o persoană își vede oglinda dublă în fața sa.
Dacă sunteți interesat de banda Mobius, cum să faceți un model al acesteia, o mică instrucțiune vă va spune:
1. Pentru a-i realiza modelul vei avea nevoie de: - o coală de hârtie simplă;
- foarfece;
- rigla.
2. Tăiați o fâșie dintr-o coală de hârtie, astfel încât lățimea acesteia să fie de 5-6 ori mai mică decât lungimea.
3. Întindeți banda de hârtie rezultată pe o suprafață plană. Ținem un capăt cu mâna, iar celălalt îl întoarcem 180*, astfel încât banda să se răsucească și partea greșită să devină partea din față.
4. Lipiți capetele benzii răsucite împreună, așa cum se arată în figură.
Banda Mobius este gata.
5. Luați un pix sau un marker și începeți să desenați o cale în mijlocul benzii. Dacă ai făcut totul corect, te vei întoarce în același punct în care ai început să tragi linia.
Pentru a obține o confirmare vizuală că banda Möbius este un obiect cu o singură față, încercați să pictați peste una dintre laturile sale cu un creion sau un stilou. După un timp vei vedea că ai pictat-o complet.
Banda Möbius a servit drept inspirație pentru sculpturi și artă grafică. Escher a fost unul dintre artiștii care l-au iubit în mod deosebit și și-a dedicat câteva dintre litografiile sale acestui obiect matematic. Una dintre cele celebre este Mobius Strip II, care arată furnici târându-se pe suprafața unei benzi Mobius.
Fâșia Möbius este emblema seriei de cărți de popularizare din seria Biblioteca „Quantum”. De asemenea, apare în mod regulat în science fiction, cum ar fi în povestea lui Arthur C. Clarke „The Wall of Darkness”. Uneori, poveștile științifico-fantastice (în urma unor fizicieni teoreticieni) sugerează că Universul nostru poate fi un fel de bandă Möbius generalizată. De asemenea, inelul Mobius este menționat în mod constant în lucrările scriitorului Ural Vladislav Krapivin, ciclul „În adâncurile Marelui Cristal” (de exemplu, „Avanpost pe câmpul de ancore. O poveste”). În povestea „The Mobius Strip” de A. J. Deitch, metroul din Boston construiește o nouă linie al cărei traseu devine atât de confuz încât devine o bandă Mobius, făcând pe linie să dispară trenurile. Pe baza poveștii, a fost filmat filmul științifico-fantastic „Mobius”, regizat de Gustavo Mosquera. De asemenea, ideea unei benzi Möbius este folosită în povestea lui M. Clifton „On the Möbius Strip”.
Banda Mobius este folosită ca o modalitate prin care Harry Keefe, protagonistul romanului lui Brian Lumley Necroscope, să călătorească prin spațiu și timp.
Banda Möbius joacă un rol important în romanul științifico-fantastic al lui R. Zelazny „Doors in the Sand”.
În cartea lui E. Naumov „Half-Life” (1989), un intelectual alcoolic călătorește prin țară, stând pe o fâșie Mobius.
Fluxul romanului „Echo” al scriitorului rus modern Alexei Shepelev este comparat cu banda Möbius. Din adnotarea cărții: „„Echo” este o analogie literară a inelului Mobius: două povești - „băieți” și „fete” - sunt împletite, curg unul în celălalt, dar nu se intersectează.”
Banda Möbius apare și în eseul lui Haruki Murakami „Obladi Possessed” din colecția din 2010 Radio Murakami, unde banda Möbius este comparată la figurat cu infinitul.
În romanul vizual al lui CHARON „Makoto Mobius”, personajul principal Wataro încearcă să-și salveze colegul de clasă de la moarte folosind un artefact magic - banda Mobius.
În 1987, pianistul de jazz sovietic Leonid Chizhik a înregistrat albumul „Mobius Strip”, care includea compoziția cu același nume.
Pista de curse dintr-unul dintre episoade (sezonul 7, episodul 14, 11 minute) din serialul animat „Futurama” este o bandă Mobius.
Există aplicații tehnice pentru o bandă Möbius. O bandă transportoare concepută ca o bandă Möbius va dura mai mult deoarece întreaga suprafață a benzii se uzează uniform. Sistemele de înregistrare continuă a filmelor folosesc și benzi Möbius (pentru a dubla timpul de înregistrare). În multe imprimante matriciale, panglica de cerneală are și forma unei benzi Mobius pentru a-și crește resursele.
De asemenea, deasupra intrării în Institutul de Economie Centrală și Matematică al Academiei Ruse de Științe se află un înalt relief mozaic „Fâșia Mobius” de arhitectul Leonid Pavlov în colaborare cu artiștii E. A. Zharenova și V. K. Vasiltsov (1976)
Soluții arhitecturale folosind ideea benzii Moebius:
Bijuterii sub forma unei benzi Mobius:
Există aplicații tehnice pentru o bandă Möbius. Banda benzii transportoare este realizată sub forma unei benzi Möbius, ceea ce îi permite să lucreze mai mult timp deoarece întreaga suprafață a benzii se uzează uniform. Sistemele de înregistrare continuă a filmelor folosesc și benzi Möbius (pentru a dubla timpul de înregistrare). În multe imprimante matriciale, panglica de cerneală are și forma unei benzi Mobius pentru a-și crește resursele.
Un dispozitiv numit rezistor Möbius este un element electronic recent inventat care nu are inductanță proprie. Benzile Möbius sunt, de asemenea, folosite în sistemele de înregistrare continuă a filmelor (pentru a dubla timpul de înregistrare); în imprimantele matriciale, banda de cerneală avea și forma unei benzi Möbius pentru a crește durata de valabilitate.
Banda Mobius este un lucru simplu, dar uimitor. Se poate face în câteva secunde, iar acest fenomen are o mulțime de surprize, modele și proprietăți. Pentru a face acest lucru mai clar în practică, luați o bandă obișnuită de hârtie, lipiți și conectați-i capetele. Dar asigurați-vă că un capăt este răsucit cu jumătate de tură față de celălalt. Așa că celebra bandă Möbius este gata.
Putem vorbi la nesfârșit despre suprafața misterioasă rezultată. Întrebați-vă câte suprafețe are un inel de hârtie. Două? Dar nu - singur. Este foarte ușor de verificat. Luați un creion sau un creion și încercați să colorați o parte a benzii fără a o rupe sau a vă deplasa pe cealaltă parte. S-a întâmplat? Unde este partea nevopsită? Asta este...
Titlul filmului a fost dat de inventatorul acestuia: August Ferdinand Moebius, profesor la Universitatea din Leipzig. Și-a dedicat viața lungă și fructuoasă muncii științifice (adică 78 de ani) și și-a păstrat claritatea minții până la plecare. La 75 de ani, profesorul a descris proprietățile unice ale unei suprafețe unilaterale cu o structură aparentă cu două straturi. De atunci, cele mai bune minți din geometrie, fizică și chiar spiritualitate au explorat acest obiect în departe.
Puteți efectua singur mai multe experimente luând o bandă Mobius. Încercați să o tăiați pe lungime, desenând mai întâi o linie de mijloc pe toată suprafața. Ce crezi ca se va intampla? Două inele mai mici? Un lucru este greșit din nou! De două ori mai lung decât precedentul, dar răsucit deja de două ori. Acum va avea două suprafețe, și nu una, ca în primul caz. Această buclă este numită panglica afgană și este, de asemenea, cunoscută pe scară largă cercetătorilor. Apropo, în spiritualitate acest efect este numit un simbol al dualității și este interpretat ca o percepție iluzorie a unuia.
Ce se întâmplă dacă desenați din nou o linie longitudinală, dar nu în mijloc, ci mai aproape de margine cu o treime din lățimea benzii? Tăiați inelul rezultat și veți avea deja două dintre ele în mâini: o bandă Mobius și o panglică afgană, iar într-un mod de neînțeles acestea vor fi interconectate între ele.
Dar acestea nu sunt toate surprize. Când lipiți banda într-un inel, încercați să utilizați nu una, ci două benzi de hârtie. Și apoi trei sau chiar patru. Vă garantez: rezultatul vă va surprinde și mai mult!
Un experiment interesant poate fi realizat și ipotetic. Luând o bandă dublă Möbius (adică lipită împreună din două benzi) și inserând un deget (creion, băț de lemn, orice) între ele, o putem muta între benzi la nesfârșit, dovedind astfel că figura este formată din două părți separate. . Acum imaginați-vă că o muscă se târăște printre aceste panglici. Banda de jos va fi „podeaua” pentru aceasta, banda de sus va fi „tavanul” și așa mai departe la infinit.
Dar, în realitate, totul nu este deloc atât de simplu pe cât pare. La urma urmei, dacă puneți un semn pentru începutul călătoriei unei muște „pe podea”, atunci când insecta face un cerc, chiar acest semn va fi deja „pe tavan”. Și pentru a merge din nou „la podea”, va trebui să faci un alt cerc.
Imaginează-ți o muscă târându-se pe stradă. În dreapta acesteia sunt case cu numere pare, iar în stânga, respectiv, cu numere impare. În timp ce face o plimbare, la un moment dat călătorul nostru va observa surprins că numerele impare sunt în dreapta, iar numerele pare în stânga! Este înfricoșător să ne imaginăm o astfel de situație pe drumurile noastre reale cu trafic pe dreapta, pentru că în curând va trebui să înfrunți alți oameni care merg frontal. Aceasta este ceea ce este - o bandă Mobius...
Aplicarea acestui model și a altor modele a fost găsită nu numai în viața ipotetică, ci și în viața reală. De exemplu, curelele din dispozitivele de imprimare, transmisiile automate, un inel abraziv în mecanismele de ascuțire și multe altele despre care nici măcar nu știți sunt create pe bază de bandă. Cu adevărat, banda Mobius este un mister care poate fi studiat la nesfârșit!
Iată-l - autorul uimitoarei benzi Mobius!
matematician și astronom teoretic german August Ferdinand Mobius(1790-1868) - student al marelui Gauss, renumit geometru, profesor la Universitatea din Leipzig, director al observatorului. Ani lungi de predare, ani lungi de muncă - viața obișnuită a unui profesor.
Și wow, asta s-a întâmplat la sfârșitul vieții mele! A venit o idee uimitoare... a fost cel mai semnificativ eveniment din viața lui! Din păcate, nu a avut niciodată timp să aprecieze semnificația invenției sale. Un articol despre celebra bandă Möbius a fost publicat postum.
Care este numele unei benzi Mobius (cunoscută altfel ca bandă Mobius sau buclă Mobius) de către matematicieni?
În limbajul matematicii aceasta este obiect topologic, cel mai simplu suprafață unilaterală cu o margine în spațiul euclidian tridimensional obișnuit, unde puteți ajunge de la un punct al acestei suprafețe la oricare altul fără a trece marginile.
O definiție destul de complexă!
Prin urmare, este mai convenabil să aruncați o privire mai atentă asupra benzii Mobius. Luați o bandă de hârtie, răsuciți banda cu o jumătate de tură (180 de grade) și lipiți capetele împreună.
Altă dată, „Mama nu m-ar fi bătut pe cap pentru o astfel de muncă”! Dar de data asta ai dreptate! Ar trebui să fie un inel răsucit.
Așezați un punct undeva pe bandă cu un creion. Acum tragem o linie de-a lungul întregii noastre casete până când vă întâlniți din nou punctul dvs. Nu trebuia să treci peste margine nicăieri - asta este ceea ce se numește o suprafață unilaterală.
Uite cât de interesantă este linia pe care ai trasat-o: este fie în interiorul ringului, fie afară! Acum măsurați lungimea acestei linii - de la punct la punct.
Esti surprins?
Se dovedește a fi de două ori mai lung decât fâșia originală de hârtie!
Ar trebui să fie așa, pentru că ai o bandă Mobius în mâini! Dar banda Möbius are o singură latură și vom spune din nou - este o suprafață unilaterală cu o margine.
Și dacă forțezi o furnică să se târască pe această linie fără a se întoarce, vei obține o copie a picturii artistului Maurice Escher.
Biata furnică pe un drum nesfârșit
Sau puteți face două benzi Möbius ușor diferite: într-una, răsuciți banda în sensul acelor de ceasornic înainte de a lipi, iar în cealaltă, în sens invers acelor de ceasornic. Acesta este modul în care benzile Möbius din dreapta și din stânga diferă.
Si acum surprize interesante cu bandă Moebius:
1. Tăiați banda Moebius într-un cerc de-a lungul liniei centrale. Nu-ți fie teamă, nu se va destrama în două! Panglica se va desfășura într-o panglică lungă închisă, răsucită de două ori mai mult decât originalul. De ce banda Möbius nu se rupe în părți separate atunci când este tăiată astfel?
Tăierea nu a atins marginea benzii, așa că după tăiere marginea (și, prin urmare, întreaga bandă de hârtie) va rămâne o bucată întreagă.
2. Tăiați banda Mobius obținută după primul experiment (răsucită de două ori mai mult decât originalul, adică 360 de grade) de-a lungul liniei sale centrale.
Ce se va intampla?
Acum veți avea în mâini două benzi Möbius identice, dar interconectate.
3. Faceți o nouă bandă Möbius, dar înainte de a o lipi, rotiți-o nu o dată, ci de trei ori (nu 180 de grade, ci 540). Apoi tăiați-o de-a lungul liniei centrale.
Ce s-a întâmplat?
Ar trebui să ajungi cu o panglică închisă, ondulată nod trefoil, adică într-un nod simplu cu trei auto-intersecții.
4. Dacă faceți o bandă Mobius cu un număr și mai mare de jumătăți de spire înainte de lipire, veți obține figuri neașteptate și surprinzătoare numite inele paradromice.
5. Dacă tăiați o bandă Möbius, nu în mijloc, ci întorcându-vă înapoi de la margine cu aproximativ o treime din lățimea ei, veți obține două benzi interconectate, una o bandă Möbius mai scurtă, iar cealaltă o bandă Möbius lungă cu două jumătăţi de întoarcere.
Vedeți cum se poate face acest lucru în practică:
O suprafață unilaterală aproape de o bandă Möbius este Sticla Klein.
Interesant este că o sticlă Klein poate fi făcută prin lipirea a două benzi Moebius împreună la margini. Cu toate acestea, în spațiul euclidian tridimensional obișnuit, este imposibil să faci acest lucru fără a crea auto-intersecție.
Există un alt obiect interesant asociat benzii Mobius. Acest Rezistorul Moebius.
Există adesea cazuri în istorie când o idee le vine mai multor inventatori în același timp. Acest lucru s-a întâmplat cu banda Mobius. În același 1858, ideea casetei i-a venit unui alt om de știință - Johann Listing. El a dat numele științei care studiază continuitatea - topologie. Și campionatul în descoperirea unui obiect topologic - panglica - i-a revenit lui August Moebius.
Întâlnim în liniște benzi Mobius în diverse dispozitive: acestea sunt benzi de cerneală în imprimante matriciale, transmisii cu curea, dispozitive de șlefuit, transportoare cu bandă și multe altele. În acest caz, durata de viață a produsului crește, deoarece uzura este redusă. Iar în sistemele de înregistrare continuă, utilizarea unei benzi Mobius vă permite să dublați timpul de înregistrare pe o bandă.
Misteriosa bandă Mobius a entuziasmat întotdeauna mințile scriitorilor, artiștilor și sculptorilor.
Modelul benzii Mobius este folosit în grafică. Amintiți-vă, de exemplu, emblema celebrei serii de cărți populare „Biblioteca cuantică” sau simbolul internațional al reciclării.
Puzzle cu o singură față
Deoarece fiecare bucată de hârtie are două fețe, atunci când desenați, trebuie să ridicați creionul și să răsturnați hârtia pentru a desena pe cealaltă parte. Dacă hârtia avea doar o față, ai putea scrie pe orice parte a ei fără să ridici creionul. Dacă un bug se târăște pe hârtie cu o singură față, poate lovi orice parte a acesteia fără a trece peste marginile ascuțite, nu? Și se poate întoarce oricând acolo unde și-a început plimbarea. Este posibil?
Adevărata foaie de hârtie cu o singură față a fost descoperită de un astronom și matematician german pe nume August Ferdinand Möbius. În cinstea lui, o astfel de bandă se numește bandă Möbius.
Möbius a studiat o ramură a matematicii numită topologie, care studiază suprafețele obiectelor. Topologii, numele dat matematicienilor care studiază topologia, își dau seama ce se întâmplă cu lucrurile atunci când sunt deformate, când își schimbă forma fără a rupe sau a crea găuri. Vă dau câteva exemple.
În imaginația mea, pot îndoi și întinde unghia în forma unei bucăți de gumă de mestecat, nu? (Desigur, în topologie ne folosim imaginația. Multe lucruri nu pot fi transformate în realitate.) Pot să iau foarfece și să le întind în formă de gumă de mestecat? Nu! Nu va funcționa pentru că foarfecele au găuri în mânere. Indiferent cum le-aș schimba mental forma inițială, tot vor fi găuri în ele. Dar pentru un topolog, toate lucrurile fără găuri sunt la fel, precum și toate lucrurile cu același număr de găuri. Este o știință destul de complexă, dar dacă poți chiar să începi să o înțelegi puțin, poți deveni un bun topolog. Aceste exemple necesită o foarte bună imaginație și sunt doar începutul în știința topologiei.
Concluzia este că topologii studiază suprafețele obiectelor. Pentru un topolog, o foaie de hârtie are două fețe. (Ar putea spune chiar că sunt șase, dacă se gândește la margini.) Dacă vrea o hârtie cu o singură față, se va gândi cum pot fi unite într-una singură. Exact asta a făcut Mobius și aceasta este soluția cu care a venit.
Să începem să facem o bandă Möbius
Acest studiu este similar cu cel pe care l-ați făcut la sfârșitul primei secțiuni. Mai întâi, faceți un inel dintr-o fâșie de hârtie de ziar, lipind capetele împreună cu bandă adezivă. Desenați o linie de creion de-a lungul mijlocului benzii. După aceasta, veți descoperi că linia trece de-a lungul unei laturi exterioare. Această bucată de hârtie, deși a devenit un inel, mai are două fețe!
Banda Möbius DIY:
Lipiți cealaltă bandă de hârtie într-un inel, dar întoarceți banda o jumătate de tură înainte de a lipi capetele împreună. Încercuiește-l de-a lungul mijlocului. Te vei întoarce de unde ai început și linia ta va fi de ambele părți! Deși nu ai ridicat creionul de pe hârtie pentru a „desena pe cealaltă parte”, acea fâșie de hârtie (cu capătul întors) este celebra bandă Möbius, o bucată de hârtie care are doar o față!
După ce ați realizat o bandă Möbius, puteți continua să o explorați. Desigur, o foaie de hârtie cu o singură față este foarte diferită de orice altă foaie pe care ai întâlnit-o vreodată în viața ta.
Cât de diferit este el?
Cu ajutorul foarfecelor, tăiați primul inel (obișnuit) de-a lungul liniei pe care ați trasat-o. Ca rezultat, veți primi două inele de hârtie separate. Aceasta este ceea ce v-ați aștepta de la o bucată de hârtie cu două fețe.
Faceți aceeași tăietură pe banda Möbius (cu capătul rotit). De data aceasta vei primi un inel care va fi de două ori mai lung decât cel original.
Într-adevăr, hârtia cu o singură față este foarte diferită.
Dacă vă întrebați ce sa întâmplat cu cealaltă parte sau de ce banda a fost de două ori mai lungă, mă tem că va trebui să așteptați să puneți întrebări. Deși topologia este una dintre cele mai interesante științe, înțelegerea ei cu adevărat necesită o cantitate enormă de cunoștințe. Poate că acest experiment simplu vă va face să vă interesați de „lumea ciudată a topologiei”, la care probabil vă veți gândi de mai multe ori.
Instituția de învățământ municipal „Școala gimnazială Budagovskaya” Tema: Completat de: Shalygin Ivan Elev clasa a V-a Conducător: Kalash G.V. Profesor de matematică Budagovo 2012 1 EPIGRAPĂ: Tu și cu mine trăim într-un spațiu tridimensional, Ne plimbăm, ne jucăm și mergem la școală. Așa că n-ar strica să aflați mai multe despre asta. Explorați mai întâi totul despre spațiu. Totul în jurul nostru este familiar și frumos pentru noi. Servitoarea ne-a deschis calea către știință. Panglica a fost cusută cu o eroare, dar a căpătat sens pentru posteritate. Așa că Mobius a găsit o fișă de lucru pentru știință, și-a dobândit propria secțiune de matematică. Ramura care studiază suprafețele corpurilor.De atunci, toată lumea a numit topologie. Cum poate o muscă de pe o bandă să nu se abate de la calea ei? Din păcate, ea se confruntă cu o cale fără sfârșit. 2 Cuprins I. Banda Möbius 1. Cuprins……………………………………………………………………………………………………………………… ..3 2. Introducere.…………………………………………………………………………………………………………………………… .4 3. Context istoric……………………………………………………………………………………..5 4.Topologie – „Geometria poziției”… ……………………………………………………………………………….5 II. Experimente de cercetare cu hârtie: 1. Vopsirea suprafeței benzii Möbius……………………………………7 2. Tăierea benzii Möbius: …………………………………… ………………………………………… ………….8 a) de-a lungul foii în două părți egale……………………………………..……….9 b) în timpul operațiunii de răsucire a benzii…………………………………………10 c) mai multe benzi lipite în unghi drept…………………………11 d) mai multe tăieturi de-a lungul foii în 3; 4; 5; părți…………………….12 3. Pe baza rezultatelor experimentelor, completați tabelele…………..12 4. Trageți concluzii pe baza rezultatelor studiilor…… ……………………… ………………………………………………………12 5. Trucuri cu bandă Möbius…………………………………………… …………………… ……..13 6. Experimente cu frânghie și vestă. …………………………………………14 III. Aplicarea practică a benzii Möbius……………………………………………………….15 IV Concluzie…………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………….16 V. Lista referințelor…………………………………………………………… …..17 VI. Anexă……………………………………………………………………………………………………………………….18 Lecție practică a unui club de matematică despre studiul benzii Möbius în clasa a V-a (fotografii și filmări realizate de Ivan Shalygin)……………………………………………………………………………… …………………………………………………… 17 3 Introducere Caracteristicile generale ale proiectului: 1. Proiectul „Geometrie în spațiu” este pe termen lung (conceput pentru trimestrul II și III ) 2. Proiectul este educațional, de cercetare. (Cercetare și experimentare, sistematizare și aplicare practică). 3. Proiect de grup (Luc la ședințele clubului cu elevii de clasa a V-a) 4. Proiect extins. (Desfășurat în cadrul școlii cu susținerea ulterioară a unei secțiuni a proiectului sub formă de rezumat și prezentare la conferința regională „În spatele paginilor unui manual de matematică”) 5. Pe baza rezultatelor secțiunii proiectului pe tema: „Secretele fâșiei Möbius”, a fost pregătit un rezumat și a luat cuvântul șeful grupului IV, Ivan Shalygin. Scopul lucrării: 1. Să se familiarizeze cu o nouă ramură a matematicii - „Topologia”, cu conceptele și sarcinile sale de bază, să efectueze cercetări în scopuri practice și să facă descoperiri pentru sine. 2. Fă-ți o primă idee despre banda Möbius. Familiarizați-vă cu tehnicile de bază ale unei abordări matematice a lumii din jurul vostru. 3. Învățați să efectuați cercetări, să descrieți rezultatele, să completați tabele și să executați desenele rezultate și desenele modelelor obținute în timpul experimentului. 4. Învață să tragi concluzii argumentate, să generezi idei pentru rezolvarea situațiilor și să aplici cunoștințele pentru a rezolva sarcini și probleme noi. 5. Efectuați experimente practice. 6. Stabiliți legătura materialului considerat cu viața. 4 Context istoric August Ferdinand Möbius (1790-1868) Afară ploua. Am fumat o pipă și am băut o ceașcă din cafeaua mea preferată cu lapte. Vederea de la fereastră era deprimantă. Un bărbat stătea pe un scaun. Au fost gânduri diferite, dar cumva nu mi-a venit în minte nimic special. În aer era doar un sentiment că această zi anume va aduce glorie și va perpetua numele lui August Ferdinand Mobius. În pragul camerei a apărut iubita lui soție. Adevărat, nu era într-o dispoziție bună. Mai corect ar fi să spună că era supărată că pentru casa liniștită a lui Mobius era aproape la fel de incredibil ca să vezi o paradă a planetelor de trei ori pe an și a cerut categoric concedierea imediată a servitoarei, care este atât de mediocră încât ea. nici măcar nu este capabil să coasă corect o panglică. Privind sumbru la panglica nefericita, profesorul a exclamat: "Oh, da, Martha! Fata nu este atât de proastă. La urma urmei, aceasta este o suprafață inelară unilaterală. Panglica nu are spate!" Suprafața deschisă a primit o justificare matematică și un nume în onoarea matematicianului și astronomului care a descris-o.Topologie - „Geometria poziției” Din momentul în care matematicianul german August Ferdinand Möbius a descoperit existența unei uimitoare foi de hârtie cu o singură față, un a început să se dezvolte o ramură cu totul nouă a matematicii, numită topologie. studiază în principal suprafețele corpurilor și găsește o relație matematică între obiecte care par să nu fie în niciun fel conectate între ele. De exemplu, din punct de vedere topologic, un nuca de macaroane și o cană sunt legate prin faptul că fiecare dintre aceste obiecte are o gaură, deși în toate celelalte privințe sunt diferite.5 Fâșia Möbius a marcat începutul unei noi științe - topologie Acest cuvânt a fost inventat de Johann Benedict Listing, un profesor la Universitatea din Göttingen, care, aproape în același timp cu colegul său din Leipzig, a propus ca prim exemplu de suprafață unilaterală banda deja familiară, odată răsucită. Această știință este tânără și, prin urmare, răutăcioasă. Nu există altă modalitate de a spune despre regulile jocului care sunt acceptate în el. Topologul are dreptul să îndoaie, să răsucească, să comprime și să întindă orice siluetă - să facă ce vrea cu ea, doar să nu o rupă sau să o lipească. Și, în același timp, va crede că nu s-a întâmplat nimic, toate proprietățile sale au rămas neschimbate. Pentru el nu contează nici distanțele, nici unghiurile, nici zonele. Ce îl interesează? Cele mai generale proprietăți ale figurilor care nu se schimbă sub nicio transformare, cu excepția cazului în care are loc o catastrofă - „explozia” figurii. Prin urmare, uneori topologia se numește „geometria continuității”. Este cunoscută și sub denumirea de „geometrie cauciuc”, deoarece nu costă nimic pentru un topolog să-și așeze toate figurile pe suprafața unei mingi gonflabile pentru copii și să-i schimbe la nesfârșit forma, asigurându-se doar că mingea nu sparge. Și faptul că că, în același timp, linii drepte , de exemplu, laturile unui triunghi se vor transforma în curbe, este profund indiferent pentru topolog. Ce proprietăți neobișnuite ale figurilor studiază topologia? Până acum, am vorbit despre o singură proprietate - dacă vă deplasați de-a lungul suprafeței benzii Mobius într-o direcție, fără a-i trece limitele, atunci, spre deosebire de suprafețele cu două fețe (de exemplu, o sferă și un cilindru), ajungeți într-un loc care este inversat. în raport cu cel original.Dacă deplasați un cerc de-a lungul acestei benzi, în timp ce îl ocoliți simultan în sensul acelor de ceasornic, atunci în poziția inițială direcția traversării va deveni în sens invers acelor de ceasornic.Alte proprietăți pe care le studiază topologia sunt continuitatea, conectivitatea, orientarea.Pentru de exemplu, continuitatea este o altă proprietate topologică. Dacă comparați diagrama rutelor avionului și o hartă geografică, atunci 6 veți fi convins că scara Aeroflot este departe de a fi consecventă - de exemplu, Sverdlovsk poate fi la jumătatea distanței de la Moscova la Vladivostok. Și totuși, există ceva în comun între o hartă geografică. Moscova este într-adevăr legată de Sverdlovsk, iar Sverdlovsk de Vladivostok. Și, prin urmare, topologul poate deforma harta în orice mod dorește, atâta timp cât punctele care anterior erau vecine rămân unul lângă celălalt și mai departe. Aceasta înseamnă că, din punct de vedere topologic, un cerc nu se distinge de un pătrat sau de un triunghi, deoarece sunt ușor de transformat unul în celălalt fără a întrerupe continuitatea. Pe o bandă Möbius, orice punct poate fi conectat la orice alt punct și, în același timp, furnica din gravura lui Escher nu va trebui niciodată să se târască peste marginea „panglicii”. Nu există pauze - continuitate completă. Experimente cu hârtie . Pentru a face o bandă Möbius, trebuie să luați o bandă de hârtie destul de alungită și să conectați capetele benzii, mai întâi răsturnând una dintre ele. Dacă ai fi pe suprafața unei benzi Möbius, ai putea merge pe ea pentru totdeauna. Vom lua în considerare acum câteva experimente cu suprafețe și găuri făcute din benzi de hârtie. Cel mai convenabil este să folosiți benzi de aproximativ 30–40 cm lungime și 3 cm lățime. În primul rând, să lipim două inele - unul simplu și unul răsucit. 7 Inelele sunt, desigur, foarte asemănătoare; dar ce se întâmplă dacă trasezi o linie continuă de-a lungul unei laturi a inelului? Când Möbius a făcut acest lucru pe inelul răsucit, a constatat că linia curgea pe ambele părți, deși creionul nu a părăsit hârtia. Înseamnă asta că inelul nostru are doar o latură? Acum încearcă inelele tale. 1. Pictează complet doar o parte a fiecăreia dintre ele. Cate suprafete au? Încercați să pictați o parte a benzii Mobius, bucată cu bucată, fără a trece peste marginea benzii. Si ce? Vei picta întreaga bandă Mobius! Ce este atât de interesant la această foaie? Și faptul că banda Möbius are o singură latură. Suntem obișnuiți cu faptul că fiecare suprafață cu care ne ocupăm (o foaie de hârtie, un tub de bicicletă sau un tub de volei) are două fețe. 8 2. Așezați un punct pe o parte a fiecărui inel și trageți o linie continuă de-a lungul acestuia până când ajungeți din nou la punctul marcat. Câte muchii are o bandă Möbius? Surpriza numărul doi: banda Möbius are o singură limită și nu constă din două părți, ca un inel obișnuit. Să testăm inelele tăindu-le în două părți pe lungime. Acum veți avea două inele separate. Dar ce este? În loc de două inele primești unul! În plus, este mai mare și mai subțire decât inelul original. Înregistrați rezultatele răsucirii și tăierii ulterioare într-un tabel. Câteva răsuciri. 9 Ce se întâmplă dacă faci o tură completă? Câte muchii are inelul rezultat? Cate suprafete? Ce se întâmplă dacă îl tăiați în jumătate pe lungime? Să facem niște cercetări cu răsucirea lui o jumătate de tură. O tură completă, o tură și jumătate. Să descriem proprietățile și să facem schițe ale rezultatelor. Fâșia Möbius are proprietăți interesante. Dacă încercați să tăiați banda în jumătate de-a lungul unei linii echidistante de margini, în loc de două benzi Möbius, obțineți o bandă lungă cu două fețe (de două ori mai răsucite decât o bandă Möbius), pe care magicienii o numesc „fâșie afgană”. Dacă acum tăiați această bandă la mijloc, veți obține două răni una peste alta. Alte combinații interesante de benzi pot fi derivate din benzile Möbius cu două sau mai multe jumătăți de ture în ele. De exemplu, dacă tăiați o panglică cu trei jumătăți de spire, veți obține o panglică ondulată într-un nod trefoil. Tăierea unei benzi Möbius cu ture suplimentare produce figuri neașteptate numite inele paradromice. Să înregistrăm rezultatele răsucirii și tăierii în tabelul de cercetare. Tabel de cercetare Nr. 1 Cu o bandă Nr. Număr de jumătăți de spire 1 0 Rezultatul unei tăieturi în jumătate pe lungime Două inele Proprietăți 2 1 Un inel Un inel de două ori mai lung 3 2 Două inele Inele de aceeași lungime interconectate între ele 4 3 Un inel Un inel de două ori mai lung nod conectat Inele de două ori mai înguste decât aceeași lungime 10 Concluzii schiței: Ce se întâmplă dacă îl răsuciți de două ori înainte de a lipi banda (adică 4 jumătăți de ture de 360 de grade)? O astfel de suprafață va fi deja cu două fețe. Și pentru a picta întregul inel, va trebui cu siguranță să întoarceți banda pe cealaltă parte. Proprietățile acestei suprafețe nu sunt mai puțin uimitoare. La urma urmei, dacă o tăiați pe lungime la mijloc, veți obține două inele identice, dar din nou interconectate. Tăiind fiecare dintre ele din nou de-a lungul mijlocului, veți găsi patru inele conectate între ele. Acum puteți rupe inelele unul câte unul - și de fiecare dată cele rămase vor fi încă legate între ele. Dacă nu luați o bandă de hârtie, ci o bandă din orice material, întoarceți unul dintre capetele benzii cu trei spire complete, de exemplu. 540 de grade, coaseți ambele capete. Apoi luați foarfece și tăiați cu atenție fâșia în mijloc, apoi tăiați din nou, veți obține trei inele identice interconectate între ele. Mai multe panglici Vom fi uimiți de ce se întâmplă când tăiem un inel dublu. Pregătiți două inele: unul obișnuit și unul Möbius. Lipiți-le în unghi drept și apoi tăiați-le pe ambele pe lungime. Tabel de cercetare Nr. 2 Nr. Număr de inele 1 Două inele situate perpendicular unul pe celălalt. Rezultatul tăierii de-a lungul fiecărei benzi Trei inele Proprietăți Două inele de aceeași lungime, al treilea este de două ori mai lung. Două inele de lungime mai mică sunt împletite în perechi cu un al treilea inel 11 Schiță Întrebare suplimentară Mai multe tăieturi Dacă tăiați panglica la o distanță de 1/3 din lățimea ei de la margine, veți obține două inele. Dar! Unul mare și unul mic legat de el. Tabel de cercetare Nr. 3 Nr. Număr de tăieturi 1 Trei părți Rezultatul tăierii de-a lungul fiecărei benzi Două inele Proprietăți Un inel de aceeași lungime, al doilea de două ori mai lung sunt interconectate între ele 12 Schiță 2 Patru părți Două inele Ambele inele sunt de două ori atâta timp cât cel tăiat, împletit unul cu celălalt prieten. Unul dintre inele le-a împletit pe celelalte 3 Cinci părți Trei inele Două inele de două ori mai lungi sunt împletite între ele și legate între ele într-o pereche printr-un al treilea inel scurt de lungimea originală. Concluzii: Dacă tăiați și un mic inel de-a lungul, în mijloc, atunci veți avea o împletire foarte „complicată” a două inele - identice ca mărime, dar diferite ca lățime. Trucuri cu banda Mobius. Fizicienii susțin că toate legile optice se bazează pe proprietățile benzii Mobius, în special, reflectarea în o oglindă este un fel de transfer în timp, de scurtă durată, de durată sutimi de secundă, până la urmă, vedem în fața noastră... așa este, un dublu oglindit al nostru!Datorită proprietăților sale neobișnuite, banda Mobius. a fost folosit pe scară largă în ultimii 75 de ani de către magicieni. Dacă încercați să tăiați banda de-a lungul unei linii echidistant de margini, în loc de două benzi Mobius, veți obține una lungă cu două fețe (de două ori mai răsucite decât o bandă Möbius) o bandă pe care magicienii o numesc „fâșie afgană”. Pe baza cercetărilor noastre cu inele de bandă răsucite, putem efectua o serie de trucuri. Iată una dintre ele: Prezintăm privitorului trei inele mari de hârtie, fiecare dintre ele realizat prin lipirea capetele unei benzi de hârtie. (Studii Tabelul 1). Spectatorul folosește foarfecele pentru a tăia inelele de-a lungul panglicii din mijloc până se întoarce la punctul de plecare. Ca rezultat, primul se va transforma în două inele separate. Din al doilea există un inel, dar de două ori mai lung, iar din al treilea există două inele interconectate unul cu celălalt. 13 Dacă treceți o panglică răsucită de trei ori prin inel, lipiți capetele împreună și apoi tăiați-o pe lungime în mijloc, veți obține un inel mare cu un nod legat în jurul inelului. În mod similar, pentru trucuri de magie, puteți folosi tabelele de cercetare 2 și 3. Experimente cu frânghie și vestă. Trucurile cu bandă Möbius fac parte din trucurile topologice, care necesită materiale flexibile care nu se modifică în timpul transformărilor continue: întindere și compresie. Pentru a efectua experimentele, aveți nevoie de o eșarfă, vestă și frânghii. În primul rând, punem o situație problematică. Cu ajutorul experimentelor căutăm o cale de ieșire din această situație. Experimentul 1. Problema nodurilor. Cum să faci un nod într-o eșarfă fără a renunța la capete? Se poate face așa. Așezați eșarfa pe masă. Încrucișează-ți brațele peste piept. Continuând să le țineți în această poziție, aplecați-vă peste masă și luați un capăt al eșarfei cu fiecare mână pe rând. După ce brațele sunt depărtate, se va forma automat un nod în mijlocul eșarfei. Folosind terminologia topologică, putem spune că mâinile privitorului, corpul său și eșarfa formează o curbă închisă sub forma unui nod „cu trei frunze”. La întinderea mâinilor, nodul se mișcă doar de la mâini la eșarfă. Experimentul 2. . Întoarcerea vestei pe dos, fără a o scoate de la persoană. Vestei proprietarului, trebuie să-ți strângi degetele la spate. Cei din jurul tău trebuie să întoarcă vesta pe dos spre exterior, fără a separa mâinile proprietarului. Pentru a demonstra acest experiment, tu trebuie să desfaceți vesta și să o trageți cu mâna în spatele proprietarului. Vesta va atârna în aer, dar, desigur, nu va fi îndepărtată, deoarece mâinile sunt strânse. Acum trebuie să luați tivul stâng al vestei și , încercând să nu încreți vesta, împinge-o cât mai departe în armura dreaptă.Apoi ia armura dreaptă și împinge-o în aceeași armurie și în aceeași direcție.Nu rămâne decât să îndrepti vesta și să o tragi pe proprietar Vesta va fi intoarsa pe dos spre exterior.Acelasi experiment se poate face fara a desface vesta.Singurul inconvenient va fi ca vesta este prea ingusta pentru a fi scoasa peste cap. Prin urmare, vesta poate fi înlocuită cu un pulover. Manipulările cu puloverul se repetă exact. Acest experiment poate fi demonstrat pe tine însuți, pentru care trebuie să-ți conectezi mâinile cu un cordon de 14, lăsând 40 de centimetri între ele pentru a asigura libertatea de mișcare și să-ți strângi mâinile în față. Experimentul 3. Descurcarea inelelor de frânghie. Doi participanți sunt legați de mâini cu frânghii. Astfel, mâinile și frânghiile formează două inele care se împletesc. Este necesar să se desfășoare fără a dezlega frânghiile. Răspunsul la acest experiment constă în faptul că participanții au fiecare încă două bucle pe mâini. Este necesar să trageți o frânghie printr-una dintre buclele de pe mâinile celeilalte frânghii și să scoateți bucla prin mână. III. Aplicarea practică a benzii Möbius Cea mai uimitoare proprietate a sa este că are o singură față, nu poate fi vopsită cu două culori, iar insectele care se târăsc pe ea vor ocoli ambele părți fără a traversa marginea. Această proprietate și-a găsit aplicație practică: multe dispozitive au fost brevetate, de exemplu, o curea de ascuțire, o panglică de cerneală pentru dispozitive de imprimare, o transmisie cu curea și alte soluții tehnice. Proprietatea unilaterală a benzii Möbius a fost folosită în tehnologie: dacă cureaua unei transmisii prin curea este realizată sub forma unei benzi Möbius, atunci suprafața ei se uzează de două ori mai încet decât cea a unui inel obișnuit. Acest lucru oferă economii semnificative.Proprietățile pe care le are banda Möbius pot fi utilizate în industria de îmbrăcăminte pentru tăierea originală a țesăturilor.Mecanismul cu arc al jucăriilor de înfășurare pentru copii eșuează cel mai adesea deoarece copiii încearcă adesea să înfășoare arcul când acesta este deja răsucit. la limita. Un arc răsucit cu inel poate deveni o „mașină cu mișcare perpetuă” pentru jucăriile pentru copii. Un alt exemplu de posibilă utilizare a unui nou mecanism este obturatorul slot al unei camere foto sau video (nu digitală). În modelele tradiționale, după eliberarea obturatorului, este necesar să închideți fanta perdelei obturatorului și apoi să o întoarceți doar în poziția inițială, în timp ce se încarcă simultan arcul. În caz contrar, cadrul se va aprinde atunci când treceți fanta obturatorului în direcția opusă. Dispozitivul obturator este destul de complex. Utilizarea unei benzi Möbius a simplificat designul, a crescut fiabilitatea, durabilitatea și performanța acesteia. În multe imprimante matriciale, panglica de cerneală are și forma unei benzi Mobius pentru a-și crește resursele. Datorită benzii Mobius, au apărut multe invenții diferite. De exemplu, casete speciale au fost create pentru casetofone, care au făcut posibilă ascultarea casetelor de pe „ambele părți” fără a-și schimba locul. Câți oameni au fost încântați de plimbările „Roller Coaster”. Această jucărie a fost foarte populară nu numai printre matematicieni. Probabil că nu degeaba acum, la intrarea în Muzeul de Istorie și Tehnologie din Washington există un monument al benzii Mobius - o panglică de oțel răsucită cu jumătate de tură se rotește încet pe un piedestal. O serie întreagă de sculpturi sub forma unei benzi Mobius a fost creată de sculptorul Max Bill. Destul de multe desene diferite au fost lăsate de Maurits Escher. IV. Concluzie În ciuda faptului că Mobius și-a făcut descoperirea uimitoare cu mult timp în urmă, aceasta este încă foarte populară și astăzi. O simplă fâșie de hârtie, răsucită o singură dată și apoi lipită într-un inel, se transformă imediat într-o bandă misterioasă Mobius și capătă proprietăți uimitoare. Astfel de proprietăți ale suprafețelor și spațiilor sunt studiate de o ramură specială a matematicii - Topologia. Această știință este atât de complexă încât nu este predată la școală. Doar în institute. Dar cine știe, poate cu timpul vom deveni topologi celebri și vom face descoperiri minunate. Și poate că o suprafață complicată va fi numită după noi. Lucrând cu băieții din grupul meu la proiectul „Secretele fâșiei Mobius”, am învățat o mulțime de lucruri noi și interesante: am învățat să găsesc literatură pe o temă propusă de profesor în bibliotecă, să citesc și să selectez materialul necesar. ; folosiți articole de pe Internet, selectați ilustrațiile necesare pentru rezumat, construiți tabele și completați-le; efectuați cercetări asupra „fâșiei Möbius” (faceți numărul necesar de spire, lipiți și tăiați); fotografiați inelele rezultate și introduceți-le în tabel; face o prezentare și experimente de film; vorbește la o conferință și efectuează trucuri de magie. Toate acestea sunt destul de complicate și consumatoare de timp, dar foarte interesante. 16 „Topologia, cea mai tânără și puternică ramură a geometriei, demonstrează clar influența fructuoasă a contradicțiilor dintre intuiție și logică” R. Courant. 17 Literatură 1. Gardner M „Minuni și mistere matematice”, Moscova, „Știință” 1986 2. Gromov A.S. „Sarcini extracurriculare în matematică clasele 8-9” Moscova, Educație 3. N. Langdon, Ch. Snape „Pe drumul cu matematica” Moscova, Pedagogie, 1987 4. Revista științifică populară „Kvant” 1975 Nr. 7, 1977 Nr. 7 . 5. Savin A.P. „Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician”, M, Prosveshchenie, 1985 6. Yakusheva G.M. „Mare enciclopedie pentru școlari. Mathematics”, Moscova, „WORD”, Eksmo, 2006 7. w.w.w.Rambler.ru 18 Anexă Lucrare de laborator „Möbius Strip” într-un cerc de matematică clasa 19 Încercați să pictați o parte a benzii Möbius - bucată cu bucată, fără a trece peste marginea benzii. Si ce? Vei picta întreaga bandă Mobius! 20 Așezați un punct pe o parte a fiecărui inel și trageți o linie continuă de-a lungul acestuia până când reveniți la punctul marcat 21 Să testăm inelele tăindu-le în două pe lungime. 22 Acum veți avea două inele separate. Dar ce este? În loc de două inele primești unul! În plus, este mai mare și mai subțire decât inelul original. 23 Să notăm rezultatele răsucirii și tăierii în tabelul de cercetare. 24 Ambele inele sunt de două ori mai lungi decât cel tăiat, împletindu-se între ele. Unul dintre inele s-a împletit pe celălalt 25 Un inel de aceeași lungime, al doilea de două ori mai lung sunt interblocate unul cu celălalt 26 Tăierea benzii Möbius cu spire suplimentare dă figuri neașteptate numite inele paradromice. 27