Теорема о кинетической энергии формулируется так. Сумма работы всех сил (консервативных и неконсервативных), приложенных к телу, равна приращению его кинетической энергии. С помощью этой теоремы можно обобщить закон сохранения механической энергии на случай незамкнутой (неизолированной) системы : приращению полной механической энергии системы равно работе сторонних сил над системой.
Траектория
Траекторией называется воображаемая линия, описываемая телом при движении. В зависимости от формы траектории движения бывают криволинейные и прямолинейные. Примеры криволинейного движения: движение тела, брошенного под углом к горизонту (траектория – парабола), движение материальной точки по окружности.
Трение
Возникает между двумя телами в плоскости соприкосновения их поверхностей и сопровождается диссипацией (рассеиванием) энергии. Механическая энергия системы, в которой есть трение, может только уменьшаться. Наука, изучающая трение, называется трибологией. Опытным путем установлено, что максимальная сила трения покоя и сила трения скольжения не зависит от площади соприкосновения тел и пропорциональна силе нормального давления, прижимающей поверхности друг к другу. Коэффициент пропорциональности при этом называется коэффициентом трения (покоя или скольжения).
Третий закон Ньютона
Третий закон Ньютона - физический закон, в соответствии с которым силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки. Как и прочие законы Ньютона, третий закон справедлив только для инерциальных систем отсчета . Краткая формулировка третьего закона: действие равно противодействию.
Третья космическая скорость
Третья космическая скорость - минимальная скорость , необходимая для того, чтобы космический аппарат, запущенный с Земли, преодолел притяжение Солнца и покинул Солнечную систему. Если бы Земля в момент запуска была неподвижна и не притягивала тело к себе, то третья космическая скорость была бы равна 42 км/с. С учетом скорости орбитального движения Земли (30 км/с) третья космическая скорость равна 42-30 = 12 км/с (при запуске в направлении орбитального движения) или 42+30 = 72 км/с (при запуске в противоположном направлении). Если учесть еще и силу притяжения к Земле, то для третьей космической скорости получим значения от 17 до 73 км/с.
Ускорение
Ускорение - векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости . При произвольном движении ускорение определяется как отношение приращения скорости к соответствующему промежутку времени. Если устремить этот промежуток времени к нулю, получим мгновенное ускорение. Значит, ускорение есть производная от скорости по времени. Если рассматривается конечный промежуток времени Δt, то ускорение называется средним. При криволинейном движении полное ускорение складывается из тангенциального (касательного) и нормального ускорения .
Угловая скорость
Угловая скорость - векторная величина, характеризующая вращательное движение твердого тела и направленная по оси вращения согласно правилу правого винта. Средняя угловая скорость численно равна отношению угла поворота к соответствующему промежутку времени. Взяв производную от угла поворота по времени, получим мгновенную угловую скорость. Единицей угловой скорости в СИ является рад/с.
Ускорение свободного падения
Ускорение свободно падающего тела - ускорение, с которым движется тело под действием силы тяготения. Ускорение свободного падения одинаково для всех тел, независимо от их массы . На Земле ускорение свободно падающего тела зависит от высоты над уровнем моря и от географической широты и направления к центру Земли. На широте 45 0 и на уровне моря ускорение свободно падающего тела g = 9.80665 м/с 2 . В учебных задачах обычно полагают g = 9,81 м/с 2 .
Физический закон
Физический закон - необходимая, существенная и устойчиво повторяющаяся связь между явлениями, процессами и состояниями тел. Познание физических законов составляет основную задачу физической науки.
50. Физический маятник
Физический маятник - абсолютно твердое тело , имеющее ось вращения. В поле тяготения физический маятник может совершать колебания около положения равновесия, при этом массу системы нельзя считать сосредоточенной в одной точке. Период колебаний физического маятника зависит от момента инерции тела и от расстояния от оси вращения до центра масс .
Энергия (от греч. energeia – деятельность)
Энергия - скалярная физическая величина, являющаяся общей мерой различных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Основные виды энергии: механическая, внутренняя, электромагнитная, химическая, гравитационная, ядерная. Одни виды энергии могут превращаться в другие в строго определенных количествах (см. также Закон сохранения и превращения энергии ).
Термодинамика и молекулярная физика
Под элементарной работой dА, совершаемой силой на элементарном перемещении , называют величину, равную скалярному произведению на
где угол a - угол между векторами силы и перемещением (рис.1.22,а);
Модуль вектора элементарного перемещения или элементарный путь пройденной точкой приложения силы.
Работа силы на конечном перемещении равна сумме элементарных работ:
. (1.61)
Если сила постоянна ( =const), то ее работа на прямолинейном участке длины l запишется следующим образом:
. (1.62)
Работа силы может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Так, работы постоянных сил, приложенных к телу (рис.1.22б) на горизонтальном участке пути l, равны:
Чтобы ввести понятие о кинетической энергии W k тела, запишем элементарную работу dA силы в другом виде (см. 1.2.2):
Тогда для работы силы , переводящей тело из состояния 1 (скорость тела ) в состояние 2 (скорость тела ) можно записать:
Из полученной формулы следует, что работа силы равна разности двух величин, определяющих начальное (скорость ) и конечное (скорость ) состояния тела. При этом условия перехода из состояния 1 в состояние 2 не оказывают влияние на записанное выражение. Поэтому можно ввести функцию состояния тела, его кинетическую энергию W к как СФВ, характеризующую способность тела совершать работу за счет изменения скорости его движения и равную
В этом выражении постоянную величину выбирают, предположив, что при нулевой скорости движения тела его кинетическая энергия равна нулю, поэтому
Кинетическая энергия тел не зависит от того, как была достигнута данная скорость u, она является функцией состояния тела, положительной величиной, зависящей от выбора системы отсчета.
Введение W к позволяет сформулировать теорему о кинетической энергии, согласно которой алгебраическая сумма работ всех сил, действующих на тело, равна приращению кинетической энергии тела:
Эта теорема широко используется для анализа взаимодействия тел не только в механике, но и в других разделах курса физики, таких как электростатика, постоянный ток, электромагнетизм, колебания и волны и т.д.
1.4.2. Кинетическая энергия вращающегося а.т.т.
Возьмем а.т.т., вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (рис.1.16,б). Представим тело в виде совокупности м.т. массы dm , тогда для кинетической энергии тела можно записать:
Итак, кинетическая энергия а.т.т. вращающегося относительно неподвижной оси вращения, определяется по формуле
Если тело одновременно участвует в поступательном (плоском) и вращательном движениях (например, движение цилиндра без скольжения по плоскости, рис.1.23,а), то его кинетическую энергию можно получить
Рис.1.23
как сумму кинетической энергии поступательного движения тела вместе с осью вращения, проходящей через его центр масс (точка О ), со скоростью и вращательного движения тела относительно этой оси с угловой скоростью
.
(1.67)
Для сплошного (I 1 =1/2mR 2 ) и тонкостенного (I 2 =mR 2 ) цилиндров одинаковой массы m и радиуса R кинетические энергии запишутся таким образом:
.
Полученные формулы для кинетической энергии цилиндров позволяют объяснить опыт по различию времени их скатывания с наклонной плоскости высотой h и длиной l (рис.1.23,б). Так, согласно закону сохранения энергии (силой трения при движении цилиндров практически можно пренебречь) получим
,
где обозначают скорости сплошного и полого цилиндров у основания наклонной плоскости.
При скатывании цилиндров центр их масс движется равноускоренно без начальной скорости и поэтому согласно формуле (1.13) можно записать:
,
т.е. на скатывание полого цилиндра требуется большее время, чем для сплошного цилиндра.
Качественно это можно объяснить тем, что полый цилиндр является более инертным, чем сплошной (для него момент инерции относительно оси вращения больше), и поэтому он медленнее изменяет свою скорость и поэтому тратит больше времени на скатывание с наклонной плоскости.
Как видно из рис.1.23,а, модули скоростей точек на поверхности цилиндра будут разными (u В =0, , u А =2u) в связи с тем, что эти точки участвуют одновременно и в поступательном и в вращательном движениях со скоростями и , причем для каждой точки направлена по касательной к поверхности цилиндра и равна по модулю u ( ).
Отметим, что движение цилиндра можно рассматривать и как ряд последовательных вращений вокруг мгновенной оси, проходящей через точку С (рис.1.23,а) с угловой скоростью w. Причем и в этом случае кинетическая энергия тела также определяется формулой (1.67).
Кинетическая энергия.
Неотъемлемым свойством материи является движение. Различные формы движения материи способны к взаимным превращениям, которые, как установлено, происходят в строго определенных количественных соотношениях. Единой мерой различных форм движения и типов взаимодействия материальных объектов и является энергия.
Энергия зависит от параметров состояния системы, ᴛ.ᴇ. таких физических величин, которые характеризуют некоторые существенные свойства системы. Энергию, зависящую от двух векторных параметров, характеризующих механическое состояние системы, а именно, радиус-вектора , определяющего положение одного тела относительно другого, и скорости , определяющей быстроту перемещения тела в пространстве, называют механической.
В классической механике представляется возможным разбить механическую энергию на два слагаемых, каждое из которых зависит только от одного параметра:
где - потенциальная энергия, зависящая от относительного расположения взаимодействующих тел; - кинетическая энергия, зависящая от скорости движения тела в пространстве.
Механическая энергия макроскопических тел может изменяться только за счет работы.
Найдем выражение для кинетической энергии поступательного движения механической системы. Стоит сказать, что для начала рассмотрим материальную точку массой m . Допустим, что ее скорость в некоторый момент времени t равна . Определим работу результирующей силы , действующей на материальную точку в течение некоторого времени:
Учитывая, что на основе определения скалярного произведения
где - начальная, а - конечная скорость точки.
Величина
принято называть кинетической энергией материальной точки.
С помощью этого понятия соотношение (4.12) запишется в виде
Из (4.14) следует, что энергия имеет такую же размерность, как и работа͵ и следовательно, измеряется в тех же единицах.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, работа результирующей всех сил, действующих на материальную точку, равна приращению кинетической энергии этой точки. Отметим, что приращение кинетической энергии может быть положительным или отрицательным в зависимости от знака, совершенной работы (сила может либо ускорять, либо тормозить движение тела). Данное утверждение принято называть теоремой о кинетической энергии.
Полученный результат без труда обобщается на случай поступательного движения произвольной системы материальных точек. Кинетической энергией системы принято называть сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит. В результате сложения соотношений (4.13) для каждой материальной точки системы, снова получится формула (4.13), но уже для системы материальных точек:
где m – масса всей системы.
Отметим, что имеется существенное отличие теоремы о кинетической энергии (закона об изменении кинетической энергии) и закона об изменении импульса системы. Как известно, приращение импульса системы определяется только внешними силами. Внутренние силы вследствие равенства действия и противодействия не меняют импульс системы. Не так обстоит дело в случае кинетической энергии. Работа внутренних сил, вообще говоря, не обращается в нуль. К примеру, при движении двух материальных точек, взаимодействующих между собой силами притяжения, каждая из сил совершит положительную работу, и будет положительной приращение кинетической энергии всей системы. Следовательно, приращение кинетической энергии определяется работой не только внешних, но и внутренних сил.
Криволинейным интегралом 2-го рода, вычисление которого, как правило, проще, чем вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Мощностью силыf называется работа силы в единицу времени. Так как за бесконечно малое время dt сила совершает работу dA = fsds = fdr, то мощность...
Начнем с определения. Работа А силы F при перемещении х тела, к которому она приложена, определяется как скалярное произведение векторов F и х .
А= F·х= Fxcosα. (2.9.1)
Где α – угол между направлениями силы и перемещения.
Сейчас нам пригодится выражение (1.6 а), которое получено при равноускоренном движении. Но вывод мы сделаем универсальный, который и называется теоремой о кинетической энергии. Итак, перепишем равенство (1.6 а)
a·x =(V 2 –V 0 2)/2.
Умножим обе части равенства на массу частицы, получим
Fx =m(V 2 –V 0 2)/2.
Окончательно
А= m V 2 /2 – m V 0 2 /2. (2.9.1)
Величину Е = m V 2 /2 называют кинетической энергией частицы.
Вы привыкли, что в геометрии теоремы имеют свою устную формулировку. Чтобы не отстать от этой традиции, представим теорему о кинетической энергии в виде текста.
Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на него.
Данная теорема носит универсальный характер, т. е. справедлива для любого вида движения. Однако точное её доказательство связано с применением интегрального исчисления. Поэтому мы его опускаем.
Рассмотрим пример движения тела в поле тяжести. Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, соединяющей начальную и конечную точки, а определяется только разностью высот в начальном и конечном положениях:
А=mg(h 1 –h 2). (2.9.2)
Примем какую-нибудь точку поля тяжести за начало отсчета и будем рассматривать работу, совершаемую силой тяжести при перемещении частицы в эту точку из другой произвольной точки Р , находящейся на высоте h . Эта работа равна mgh и называется потенциальной энергией Е п частицы в точке Р :
Е п = mgh (2.9.3)
Теперь преобразуем равенство (2.9.1), механическая теорема о кинетической энергии примет вид
А= m V 2 /2 – m V 0 2 /2= Е п1 – Е п2 . (2.9.4)
m V 2 /2+ Е п2 = m V 0 2 /2+ Е п1 .
В этом равенстве в левой части стоит сумма кинетической и потенциальной энергии в конечной точке траектории, а в правой – в начальной.
Эту сумму называют полной механической энергией. Будем обозначать ее Е .
Е = Е к + Е п.
Мы пришли к закону сохранения полной энергии: в замкнутой системе полная энергия сохраняется.
Однако следует сделать одно замечание. Пока мы рассматривали пример так называемых консервативных сил . Эти силы зависят только от положения в пространстве. А работа, совершаемая такими силами при перемещении тела из одного положения в другое, зависит только от этих двух положений и не зависит от пути. Работа, совершаемая консервативной силой, является механически обратимой, т. е. меняет свой знак при возврате тела в исходное положение. Сила тяжести является консервативной силой. В дальнейшем мы познакомимся с другими видами консервативных сил, например, с силой электростатического взаимодействия.
Но в природе бывают и неконсервативные силы . Например, сила трения скольжения. Чем больше путь частицы, тем большую работу совершает сила трения скольжения, действующая на эту частицу. Кроме того, работа силы трения скольжения всегда отрицательна, т. е. «вернуть» энергию такая сила не может.
Для замкнутых систем полная энергия, конечно, сохраняется. Но для большинства задач механики более важным является частный случай закона сохранения энергии, а именно закон сохранения полной механической энергии. Вот его формулировка.
Если на тело действуют только консервативные силы, то его полная механическая энергия, определяемая как сумма кинетической и потенциальной энергий, сохраняется .
В дальнейшем нам понадобятся ещё два важных равенства. Как всегда, вывод заменим простой демонстрацией частного случая поля тяжести. Но вид этих равенств будет справедлив для любых консервативных сил.
Приведем равенство (2.9.4) к виду
А=F ∆x= Е п1 – Е п2 = –( Е п.кон – Е п.нач)= – ∆U.
Здесь мы рассмотрели работу А при перемещении тела на расстояние ∆x. Величину ∆U, равную разности конечной и начальной потенциальной энергии, называют изменением потенциальной энергии. А полученное равенство заслуживает отдельной строчки и специального номера. Поспешим его присвоить ему:
А= – ∆U (2.9.5)
Отсюда же вытекает математическая связь между силой и потенциальной энергией:
F = – ∆U/∆x (2.9.6)
В общем случае, не связанном с полем тяжести, равенство (2.9.6) представляет собой простейшее дифференциальное уравнение
F= – dU/dx.
Последний пример рассмотрим без доказательства. Гравитационная сила описывается законом всемирного тяготения F(r)=GmM/r 2 и является консервативной. Выражение для потенциальной энергии гравитационного поля имеет вид:
U(r)= –GmM/r.
Автор : – Разберем простой случай. На тело массой m, находящееся на горизонтальной плоскости, действует в течение промежутка времени Т горизонтальная сила F . Трение отсутствует. Чему равна работа силы F ?
Студент : – За время Т тело переместится на расстояние S=аТ 2 /2, где а =F /m. Следовательно, искомая работа есть А =F S=F 2 T 2 /(2m).
Автор : Все правильно, если считать, что тело покоилось до того, как на него начала действовать сила. Несколько усложним задачу. Пусть до начала действия силы тело двигалось прямолинейно и равномерно с некоторой скоростью V 0 , сонаправленной с внешней силой. Чему теперь равна работа за время Т ?
Студент : – Для расчета перемещения возьму более общую формулу S= V 0 T + аТ 2 /2, для работы получаю А =F (V 0 T + аТ 2 /2). Сравнивая с предыдущим результатом, вижу, что одна и та же сила за одинаковые промежутки времени производит разную работу.
Тело массой m скользит вниз по наклонной плоскости с углом наклона α. Коэффициент трения скольжения тела о плоскость k . На тело все время действует горизонтальная сила F . Чему равна работа этой силы при перемещении тела на расстояние S?
Студент : – Произведем расстановку сил и найдем их равнодействующую. На тело действует внешняя сила F, а также силы тяжести, реакции опоры и трения.
Студент : – Получается, что работа А= F Scos α и всё. Меня действительно подвела привычка каждый раз искать все силы, тем более что в задаче указана масса и коэффициент трения.
Студент : – Работу силы F я уже вычислил: А 1 = F S cos α. Работа силы тяжести есть А 2 =mgSsin α. Работа силы трения … отрицательна, т. к. векторы силы и перемещения противоположно направлены: А 3 = – kmgScos α. Работа силы реакции N равна нулю, т. к. сила и перемещение перпендикулярны. Правда, я не очень понимаю смысла отрицательной работы?
Автор : – Это означает, что работа данной силы уменьшает кинетическую энергию тела. Кстати. Давайте обсудим движение тела, изображенного на рис.2.9.1, с точки зрения закона сохранения энергии. Для начала найдите суммарную работу всех сил.
Студент : – А = А 1 + А 2 + А 3 = FScos α+ mgSsin α– kmgScos α.
По теореме о кинетической энергии разность кинетических энергий в конечном и начальном состояниях равна совершенной над телом работе:
Е к –Е н =А .
Студент : – Может быть, это были другие уравнения, не относящиеся к данной задаче?
Автор : – Но все уравнения должны давать одинаковый результат. Дело в том, что потенциальная энергия содержится в скрытом виде в выражении для полной работы. Действительно, вспомните А 2 =mgSsin α=mgh, где h – высота спуска тела. Получите, теперь из теоремы о кинетической энергии выражение закона сохранения энергии.
Студент : – Так как mgh=U н – U к, где U н и U к соответственно начальная и конечная потенциальные энергии тела, то имеем:
mV н 2 /2 + U н + А 1 + А 3 = mV к 2 /2+ U к.
Студент : – Это, по-моему, легко. Работа силы трения по модулю как раз и равна количеству теплоты Q . Поэтому Q = kmgScos α.
Студент : mV н 2 /2 + U н + А 1 – Q = mV к 2 /2+ U к.
Автор : – Теперь несколько обобщим определение работы. Дело в том, что соотношение (2.9.1) верно только для случая действия постоянной силы. Хотя есть немало случаев, когда сила сама зависит от перемещения частицы. Приведите пример.
Студент : – Первое, что приходит в голову, это растяжение пружины. По мере перемещения незакрепленного конца пружины сила, все увеличивается. Второй пример связан с маятником, который, как мы знаем, сложнее удержать при больших отклонениях от положения равновесия.
Автор : – Хорошо. Давайте остановимся на примере с пружиной. Сила упругости идеальной пружины описывается законом Гука, в соответствии с которым при сжатии (или растяжении) пружины на величину х возникает сила, противоположно направленная смещению, линейно зависящая от х . Запишем закон Гука в виде равенства:
F = – kx (2.9.2)
Здесь k – коэффициент жесткости пружины, x – величина деформации пружины. Изобразите график зависимости F (x ).
Студент : Мой чертеж представлен на рисунке.
Рис.2.9.2
Левая половина графика соответствует сжатию пружины, а правая – растяжению.
Автор : – Теперь вычислим работу силы F при перемещении от х =0 до х = S. Для этого существует общее правило. Если нам известна общая зависимость силы от смещения, то работа на участке от х 1 до х 2 есть площадь под кривой F(x) на этом отрезке.
Студент : – Значит, работа силы упругости при перемещении тела от х =0 до х =S отрицательна, а модуль её равен площади прямоугольного треугольника: А = kS 2 /2.
А = kх 2 /2. (2.9.3)
Эта работа превращается в потенциальную энергию деформированной пружины.
История.
Резерфорд демонстрировал слушателям распад радия. Экран то светился, то темнел.
– Теперь вы видите, – сказал Резерфорд, – что ничего не видно. А почему ничего не видно, вы сейчас увидите.
работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.
Так как изменение кинетической энергии равно работе силы (3), кинетическая энергия тела выражается в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях.
Если начальная скорость движения тела массой m равна нулю и тело увеличивает свою скорость до значения υ , то работа силы равна конечному значению кинетической энергии тела:
A =Ek 2−Ek 1=m ⋅υ 22−0=m ⋅υ 22 .
42) Потенциальные поля
Потенциальное поле
консервативное поле, векторное поле, циркуляция которого вдоль любой замкнутой траектории равна нулю. Если П. п. - силовое поле, то это означает равенство нулю работы сил поля вдоль замкнутой траектории. Для П. п. а (М ) существует такая однозначная функция u (М )(Потенциал поля), что а = gradu (см. Градиент). Если П. п. задано в односвязной области Ω, то потенциал этого поля может быть найден по формуле
в которой AM - любая гладкая кривая, соединяющая фиксированную точку А из Ω с точкой М, t - единичный вектор касательной кривой AM и / - длина дуги AM, отсчитываемая от точки А. Если а (М ) - П. п., то rot a = 0 (см. Вихрь векторного поля). Обратно, если rot а = 0 и поле задано в односвязной области и дифференцируемо, то а (М ) - П. п. Потенциальными являются, например, электростатическое поле, поле тяготения, поле скоростей при безвихревом движении.
43) Потенциальная энергия
Потенциальная энергия - скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия - это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжианесистемы, и описывающая взаимодействие элементов системы. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.
Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль.
Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называетсянормировкой потенциальной энергии .
Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.
Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.
Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.
Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.
Потенциальная энергия в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:
где E p - потенциальная энергия тела, m - масса тела, g - ускорение свободного падения, h - высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.
44) Связь силы и потенциальной энергии
Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.
Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна
где - проекция силы на направление .
Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :
Из двух последних выражений получаем
Последнее выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы
получить значение в точке нужно произвести предельный переход:
в математике вектор ,
где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком
45) Закон сохранения механической энергии